HISTORY OF MATHEMATICS

[數學史] [第一章] [第二章] [第三章] [3.1] [3.2] [第四章] [第五章] [第六章]

     《周髀算經》一書完成於《九章算術》之前，它在數學方面的主要論述，集中在下列三個領域：一為，分數的運算，尤其是分數乘除方面的技巧；二為，以「勾股定理」為用，計算太陽在正東或正西方位時之遠近距離，這些計算當中，包含十二位數開平方根的計算過程；三則為測量太陽高度的所謂《日高術》
       昔者榮方問於陳子，陳子曰：「夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿測影。此一者天道之數，周髀長八尺，夏至之日晷一尺六吋。髀者股也，正晷者勾也。」這段對話在《周髀算經》中，記載著周朝時期的天文學家們如何求得太陽與地球的距離。以一根長為八尺的竹木竿為髀，並且以長安為中心點，在地面上立起一髀為表，此同時，也分別在長安之正北方和正南方一千里處，各立一髀；在夏至當天中午，因太陽之照射而測得髀之影長分別為：長安一尺六寸，長安北邊一千里處得一尺七吋，長安南邊一千里處得一尺五吋。從而得知，南北每隔一千里處，髀影長度則相差一寸(此乃天上一寸，地下一千里。今夏至影有一尺六寸，故知其一萬六千里，冬至影一丈三尺五寸，故知其一十三萬五千里也。)根據這樣一各實驗數據，天文學家們推算出夏日之午時，太陽之正下方位於長安以南一萬六千里處。

然後，按照相似直角三角形邊長比例，計算如下

得出太陽離地面的高度約為80000里。

下為《周髀算經》:

周 髀 算 經

卷上之一
卷上之二
卷上之三
卷下之一
卷下之二
卷下之三
  
周 髀 算 經 卷 上 之 一
昔 者 周 公 問 于 商 高 曰 ． 竊 聞 乎 大 夫 善 數 也 ．
請 問 古 者 包 犧 立 周 天 歷 度 ．
夫 天 不 可 階 而 升 ． 地 不 可 得 尺 寸 而 度 ．
請 問 數 安 從 出 ．
商 高 曰 ． 數 之 法 ． 出 于 圓 方 ．
圓 出 于 方 ． 方 出 于 矩 ．
矩 出 于 九 九 八 十 一 ．
故 折 矩 ．
以 為 句 ． 廣 三 ．
股 修 四 ．
徑 隅 五 ．
既 方 其 外 ． 半 之 一 矩 ．
環 而 共 盤 ． 得 成 三 四 五 ．
兩 矩 共 長 二 十 有 五 ． 是 謂 積 矩 ．
故 禹 之 所 以 治 天 下 者 ． 此 數 之 所 生 也 ．
周 公 曰 ． 大 哉 言 數 ．
請 問 用 矩 之 道 ．
商 高 曰 ． 平 矩 以 正 繩 ．
偃 矩 以 望 高 ． 覆 矩 以 測 深 ． 臥 矩 以 知 遠 ．
環 矩 以 為 圓 ． 合 矩 以 為 方 ．
方 屬 地 ． 圓 屬 天 ． 天 圓 地 方 ．
方 數 為 典 ． 以 方 出 圓 ．
笠 以 寫 天 ．
天 青 黑 ． 地 黃 赤 ． 天 數 之 為 笠 也 ． 青 黑 為 表 ． 丹 黃 為裏 ． 以 象 天 地 之 位 ．
是 故 ． 知 地 者 智 ． 知 天 者 聖 ．
智 出 于 句 ．
句 出 于 矩 ．
夫 矩 之 于 數 ． 其 裁 制 萬 物 ． 惟 所 為 耳 ．
周 公 曰 ． 善 哉 ．
 
 
 
周 髀 算 經 卷 上 之 二
昔 者 ． 榮 方 問 于 陳 子 ．
曰 ． 今 者 竊 聞 夫 子 之 道 ．
知 日 之 高 大 ．
光 之 所 照 ．
一 日 所 行 ．
遠 近 之 數 ．
人 所 望 見 ．
四 極 之 窮 ．
列 星 之 宿 ．
天 地 之 廣 袤 ．
夫 子 之 道 ． 皆 能 知 之 ． 其 信 有 之 乎 ．
陳 子 曰 ． 然 ．
榮 方 曰 ． 方 雖 不 省 ． 願 夫 子 幸 而 說 之 ．
今 若 方 者 ． 可 教 此 道 耶 ．
陳 子 曰 ． 然 ．
此 皆 算 術 之 所 及 ．
子 之 于 算 ． 足 以 知 此 矣 ． 若 誠 累 思 之 ．
于 是 榮 方 歸 而 思 之 ． 數 日 不 能 得 ．
復 見 陳 子 曰 ． 方 、 思 之 不 能 得 ． 敢 請 問 之 ． 陳 子 曰 ．思 之 未 熟 ．
此 亦 望 遠 起 高 之 術 ． 而 子 不 能 得 ． 則 子 之 於 數 ． 未 能通 類 ．
是 智 有 所 不 及 ． 而 神 有 所 窮 ．
夫 道 術 、 言 約 而 用 博 者 ． 智 類 之 明 ．
問 一 類 而 以 萬 事 達 者 ． 謂 之 知 道 ．
今 子 所 學 ．
算 數 之 術 ． 是 用 智 矣 ． 而 尚 有 所 難 ． 是 子 之 智 類 單 ．
夫 道 術 所 以 難 通 者 ． 既 學 矣 ． 患 其 不 博 ．
既 博 矣 ． 患 其 不 習 ．
既 習 矣 ． 患 其 不 能 知 ．
故 同 術 相 學 ．
同 事 相 觀 ．
此 列 士 之 愚 智 ．
賢 不 肖 之 所 分 ．
是 故 能 類 以 合 類 ． 此 賢 者 業 精 習 智 之 質 也 ．
夫 學 同 業 而 不 能 入 神 者 ． 此 不 肖 無 智 ． 而 業 不 能 精 習．
是 故 算 不 能 精 習 ． 吾 豈 以 道 隱 子 哉 ． 固 復 熟 思 之 ．
榮 方 復 歸 思 之 ． 數 日 不 能 得 ． 復 見 陳 子 曰 ． 方 思 之 以精 熟 矣 ． 智 有 所 不 及 ． 而 神 有 所 窮 ． 知 不 能 得 ． 願 終 請說 之 ．
陳 子 曰 ． 復 坐 ． 吾 語 汝 ． 于 是 榮 方 復 坐 而 請 陳 子 之 說． 曰 夏 至 南 萬 六 千 里 ． 冬 至 南 十 三 萬 五 千 里 ．
日 中 立 竿 測 影 ．
此 一 者 ． 天 道 之 數 ．
周 髀 長 八 尺 ． 夏 至 之 日 晷 一 尺 六 寸 ．
髀 者 ． 股 也 ． 正 晷 者 ． 句 也 ．
正 南 千 里 ． 句 一 尺 五 寸 ． 正 北 千 里 ． 句 一 尺 七 寸 ．
日 益 表 ． 南 晷 日 益 長 ． 候 句 六 尺 ．
即 取 竹 空 徑 一 寸 ． 長 八 尺 ． 捕 影 而 視 之 ． 空 正 掩 日 ．
而 日 應 空 之 孔 ．
由 此 觀 之 ． 率 八 十 寸 ． 而 得 徑 一 寸 ．
故 以 句 為 首 ． 以 髀 為 股 ．
從 髀 至 日 下 六 萬 里 ． 而 髀 無 影 ． 從 此 以 上 至 日 ． 則 八萬 里 ．
以 率 率 之 ． 八 十 里 得 徑 一 里 ． 十 萬 里 得 徑 千 二 百 五 十里 ．
故 曰 ． 日 晷 徑 ． 千 二 百 五 十 里 ．
若 求 邪 至 日 者 ． 以 日 下 為 句 ． 日 高 為 股 ． 句 股 各 自 乘． 并 而 開 方 除 之 ． 得 邪 至 日 ． 從 髀 所 旁 至 日 所 ． 十 萬 里．
法 曰 ． 周 髀 長 八 尺 ． 句 之 損 益 ． 寸 千 里 ．
故 曰 ． 極 者 天 廣 袤 也 ．
今 立 表 高 八 尺 以 望 極 ． 其 句 一 丈 三 寸 ． 由 此 觀 之 ． 則從 周 北 十 萬 三 千 里 而 至 極 下 ．
榮 方 曰 ． 周 髀 者 何 ． 陳 子 曰 ． 古 時 天 子 治 周 ．
此 數 望 之 從 周 ． 故 曰 周 髀 ．
髀 者 ． 表 也 ．
日 夏 至 南 萬 六 千 里 ． 日 冬 至 南 十 三 萬 五 十 里 ． 日 中 無影 ． 以 此 觀 之 ． 從 南 至 夏 至 之 日 中 十 一 萬 九 千 里 ．
北 至 其 夜 半 亦 然 ．
凡 徑 ． 二 十 三 萬 八 千 里 ．
此 夏 至 日 道 之 徑 也 ．
其 周 ． 七 十 一 萬 四 千 里 ．
從 夏 至 之 日 中 ． 至 冬 至 之 日 中 ． 十 一 萬 九 千 里 ．
北 至 極 下 亦 然 ． 則 從 極 南 至 冬 至 之 日 中 ． 二 十 三 萬 八千 里 ． 從 極 北 至 其 夜 半 亦 然 ． 凡 徑 四 十 七 萬 六 千 里 ． 此冬 至 日 道 徑 也 ． 其 周 百 四 十 二 萬 八 千 里 ． 從 春 秋 分 之 日中 北 至 極 下 ． 十 七 萬 八 千 五 百 里 ．
從 極 下 北 至 其 夜 半 亦 然 ． 凡 徑 三 十 五 萬 七 千 里 ． 周 一百 七 萬 一 千 里 ． 故 曰 月 之 道 常 緣 宿 ． 日 道 亦 與 宿 正 ．
南 至 夏 至 之 日 中 ． 北 至 冬 至 之 夜 半 ． 南 至 冬 至 之 日 中． 北 至 夏 至 之 夜 半 ． 亦 徑 三 十 五 萬 七 千 里 ． 周 一 百 七 萬一 千 里 ．
春 分 之 日 夜 分 ． 以 至 秋 分 之 日 夜 分 ． 極 下 常 有 日 光 ．
秋 分 之 日 夜 分 ． 以 至 春 分 之 日 夜 分 ． 極 下 常 無 日 光 ．
故 春 秋 分 之 日 夜 分 之 時 ． 日 光 所 照 ． 適 至 極 ． 陰 陽 之分 等 也 ． 冬 至 夏 至 者 ． 日 道 發 斂 之 所 生 也 ． 至 晝 夜 長 短之 所 極 ．
春 秋 分 者 ． 陰 陽 之 修 ． 晝 夜 之 象 ．
晝 者 陽 ． 夜 者 陰 ．
春 分 以 至 秋 分 ． 晝 之 象 ．
秋 分 至 春 分 ． 夜 之 象 ．
故 春 秋 分 之 日 中 ． 光 之 所 照 北 極 下 ． 夜 半 日 光 之 所 照亦 南 至 極 ． 此 日 夜 分 之 時 也 ． 故 曰 日 照 四 旁 ． 各 十 六 萬七 千 里 ．
人 所 望 見 遠 近 ． 宜 如 日 光 所 照 ．
從 周 所 望 見 ． 北 過 極 六 萬 四 千 里 ．
南 過 冬 至 之 日 三 萬 二 千 里 ．
夏 至 之 日 中 光 ． 南 過 冬 至 之 日 中 光 四 萬 八 千 里 ．
南 過 人 所 望 見 萬 六 千 里 ．
北 過 周 十 五 萬 一 千 里 ．
北 過 極 四 萬 八 千 里 ．
冬 至 之 夜 半 日 光 ． 南 不 至 人 目 所 見 七 千 里 ．
不 至 極 下 七 萬 一 千 里 ．
夏 至 之 日 中 與 夜 半 日 光 九 萬 六 千 里 ． 過 極 相 接 ．
冬 至 之 日 中 與 夜 半 日 光 ． 不 相 及 十 四 萬 二 千 里 ． 不 至極 下 七 萬 一 千 里 ．
夏 至 之 日 ． 正 東 西 望 ． 直 周 東 西 日 下 至 周 五 萬 九 千 五百 九 十 八 里 半 ．
冬 至 之 日 ． 正 東 西 方 不 見 日 ．
以 算 求 之 ． 日 下 至 周 二 十 一 萬 四 千 五 百 五 十 七 里 半 ．
凡 此 數 者 ． 日 道 之 發 斂 ．
冬 至 夏 至 ． 觀 律 之 數 ． 聽 鐘 之 音 ．
冬 至 晝 ． 夏 至 夜 ．
差 數 及 日 光 所 還 觀 之 ．
四 極 徑 八 十 一 萬 里 ．
周 二 百 四 十 三 萬 里 ．
從 周 南 至 日 照 處 三 十 萬 二 千 里 ．
周 北 至 日 照 處 五 十 萬 八 千 里 ．
東 西 各 三 十 九 萬 一 千 六 百 八 十 三 里 半 ．
周 在 天 中 南 十 萬 三 千 里 ． 故 東 西 短 中 徑 二 萬 六 千 六 百三 十 二 里 有 奇 ．
周 北 五 十 萬 八 千 里 ． 冬 至 日 十 三 萬 五 千 里 ． 冬 至 日 道徑 四 十 七 萬 六 千 里 ． 周 百 四 十 二 萬 八 千 里 ． 日 光 四 極 ．當 周 東 西 各 三 十 九 萬 一 千 六 百 八 十 三 里 有 奇 ．
此 方 圓 之 法 ．
  
周 髀 算 經 卷 上 之 三
凡 為 此 圖 ． 以 丈 為 尺 ． 以 尺 為 寸 ． 以 寸 為 分 ． 分 、 一 千里 ． 凡 用 繒 方 八 尺 一 寸 ． 今 用 繒 方 四 尺 五 分 ． 分 、 為 二千 里 ．
呂 氏 曰 ． 凡 四 海 之 內 ． 東 西 二 萬 八 千 里 ． 南 北 二 萬 六千 里 ．
凡 為 日 月 運 行 之 圓 周 ． 七 衡 周 而 六 閒 ． 以 當 六 月 ．
節 六 月 為 百 八 十 二 日 八 分 日 之 五 ．
故 日 夏 至 在 東 井 極 內 衡 ． 日 冬 至 在 牽 牛 極 外 衡 也 ．
衡 復 更 ． 終 冬 至 ．
故 曰 一 歲 三 百 六 十 五 日 四 分 日 之 一 ． 歲 一 內 極 一 外 極．
三 十 日 十 六 分 日 之 七 ． 月 一 外 極 一 內 極 ．
是 故 ． 一 衡 之 閒 ． 萬 九 千 八 百 三 十 三 里 三 分 里 之 一 ．即 為 百 步 ．
欲 知 次 衡 徑 ． 倍 而 增 內 衡 之 徑 ．
二 之 ． 以 增 內 衡 徑 ．
次 衡 放 此 ．
內 一 衡 徑 二 十 三 萬 八 千 里 ． 周 七 十 一 萬 四 千 里 ． 分 為三 百 六 十 五 度 四 分 度 之 一 ． 度 得 一 千 九 百 五 十 四 里 二 百四 十 七 步 千 四 百 六 十 一 分 步 之 九 百 三 十 三 ．
次 二 衡 徑 二 十 七 萬 七 千 六 百 六 十 六 里 二 百 步 ． 周 八 十三 萬 三 千 里 ． 分 里 為 度 ． 度 得 二 千 二 百 八 十 里 百 八 十 八步 千 四 百 六 十 一 分 步 之 千 三 百 三 十 二 ．
次 三 衡 徑 三 十 一 萬 七 千 三 百 三 十 三 里 一 百 步 ． 周 九 十五 萬 二 千 里 ． 分 為 度 ． 度 得 二 千 六 百 六 里 百 三 十 步 千 四百 六 十 一 分 步 之 二 百 七 十 ．
次 四 衡 徑 三 十 五 萬 七 千 里 ． 周 一 百 七 萬 一 千 里 ． 分 為度 ． 度 得 二 千 九 百 三 十 二 里 七 十 一 步 四 千 百 六 十 一 分 步之 六 百 六 十 九 ．
次 五 衡 徑 三 十 九 萬 六 千 六 百 六 十 六 里 二 百 步 ． 周 百 一十 九 萬 里 ． 分 為 度 ． 度 得 三 千 二 百 五 十 八 里 十 二 步 千 四百 六 十 一 分 步 之 千 六 十 八 ．
次 六 衡 徑 四 十 三 萬 六 千 三 百 三 十 三 里 一 百 步 ． 周 百 三十 萬 九 千 里 ． 分 為 度 ． 度 得 三 千 五 百 八 十 三 里 二 百 五 十四 步 千 四 百 六 十 一 分 步 之 六 ．
次 七 衡 徑 四 十 七 萬 六 千 里 周 百 四 十 二 萬 八 千 里 ． 分 為度 ． 度 得 三 千 九 百 九 里 一 百 九 十 五 步 千 四 百 六 十 一 分 步之 四 百 五 ．
其 次 曰 ． 冬 至 所 北 照 過 北 衡 十 六 萬 七 千 里 ．
為 徑 八 十 一 萬 里 ．
周 二 百 四 十 三 萬 里 ．
分 為 三 百 六 十 五 度 四 分 度 之 一 ． 度 得 六 千 六 百 五 十 二里 二 百 九 十 三 步 千 四 百 六 十 一 分 步 之 三 百 二 十 七 ． 過 北而 往 者 ． 未 之 或 知 ．
或 知 者 ． 或 疑 其 可 知 ． 或 疑 其 難 知 ． 此 言 上 聖 不 學 而知 之 ．
故 冬 至 日 晷 丈 三 尺 五 寸 ． 夏 至 日 晷 尺 六 寸 ． 冬 至 日 晷長 ． 夏 至 日 晷 短 ． 日 晷 損 益 寸 ． 差 千 里 ． 故 冬 至 夏 至 之日 ． 南 北 遊 十 一 萬 九 千 里 ． 四 極 徑 八 十 一 萬 里 ． 周 二 百四 十 三 萬 里 ． 分 為 度 ． 度 得 六 千 六 百 五 十 二 里 二 百 九 十三 步 千 四 百 六 十 一 分 步 之 三 百 二 十 七 ． 此 度 之 相 去 也 ．
其 南 北 遊 日 六 百 五 十 一 里 一 百 八 十 二 步 一 千 四 百 六 十一 分 步 之 七 百 九 十 八 ．
術 曰 ． 置 十 一 萬 九 千 里 為 實 ． 以 半 歲 一 百 八 十 二 日 八分 日 之 五 為 法 ．
而 通 之 ．
得 九 十 五 萬 二 千 為 實 ．
所 得 一 千 四 百 六 十 一 為 法 ． 除 之 ．
實 如 法 得 一 里 ． 不 滿 法 者 ． 三 之 ． 如 法 得 百 ． 步 ．
不 滿 法 者 十 之 ． 如 法 得 十 ． 步 ．
不 滿 法 者 十 之 ． 如 法 得 一 ． 步 ．
不 滿 法 者 ． 以 法 命 之 ．
 
 
 
周 髀 算 經 卷 下 之 一
凡 日 月 運 行 ． 四 極 之 道 ．
極 下 者 ． 其 地 高 人 所 居 六 萬 里 ． 滂 沱 四 隤 而 下 ．
天 之 中 央 ． 亦 高 四 旁 六 萬 里 ．
故 日 光 外 所 照 ． 經 八 十 一 萬 里 ． 周 二 百 四 十 三 萬 里 ．
故 日 運 行 處 極 北 ． 北 方 日 中 ． 南 方 夜 半 ． 日 在 極 東 ．東 方 日 中 ． 西 方 夜 半 ． 日 在 極 南 ． 南 方 日 中 ． 北 方 夜 半． 日 在 極 西 ． 西 方 日 中 ． 東 方 夜 半 ． 凡 此 四 方 者 ． 天 地四 極 四 和 ．
晝 夜 易 處 ．
加 四 時 相 及 ．
然 其 陰 陽 所 終 ． 冬 夏 所 極 ． 皆 若 一 也 ．
天 象 蓋 笠 ． 地 法 覆 槃 ．
天 離 地 八 萬 里 ．
冬 至 之 日 ． 雖 在 外 衡 ． 常 出 極 下 地 上 二 萬 里 ．
故 日 兆 月 ．
月 光 乃 出 ． 故 成 明 月 ．
星 辰 乃 得 行 列 ．
是 故 秋 分 以 往 到 冬 至 ． 三 光 之 精 微 ． 以 成 其 道 遠 ．
此 天 地 陰 陽 之 性 自 然 也 ．
欲 知 北 極 樞 ． 旋 周 四 極 ．
當 以 夏 至 夜 半 時 ． 北 極 南 遊 所 極 ．
冬 至 夜 半 時 ． 北 遊 所 極 ．
冬 至 日 加 酉 之 時 ． 西 遊 所 極 ．
日 加 卯 之 時 ． 東 遊 所 極 ．
此 北 極 璇 璣 四 遊 ．
正 北 極 樞 ． 璇 璣 之 中 ． 正 北 ． 天 之 中 ．
正 極 之 所 遊 ． 冬 至 日 加 酉 之 時 ． 立 八 尺 表 ． 以 繩 繫 表顛 ． 希 望 北 極 中 大 星 ． 引 繩 計 地 而 識 之 ．
又 到 旦 明 日 加 卯 之 時 ． 復 引 繩 希 望 之 ． 首 及 繩 致 地 ．而 識 其 端 相 去 二 尺 三 寸 ．
故 東 西 極 二 萬 三 千 里 ．
其 兩 端 相 去 ． 正 東 西 ．
中 折 之 ． 以 指 表 ． 正 南 北 ．
加 此 時 者 ． 皆 以 漏 揆 度 之 ． 此 東 西 南 北 之 時 ．
其 繩 致 地 ． 所 識 去 表 丈 三 寸 ． 故 天 之 中 去 周 十 萬 三 千里 ．
何 以 知 其 南 北 極 之 時 ． 以 冬 至 夜 半 北 遊 所 極 也 ． 北 過天 中 萬 一 千 五 百 里 ． 以 夏 至 南 遊 所 極 ． 不 及 天 中 萬 一 千五 百 里 ． 此 皆 以 繩 繫 表 顛 而 希 望 之 ． 北 極 至 地 所 識 丈 一尺 四 寸 半 ． 故 去 周 十 一 萬 四 千 五 百 里 ．
過 天 中 萬 一 千 五 百 里 ． 其 南 極 至 地 所 識 九 尺 一 寸 半 ．故 去 周 九 萬 一 千 五 百 里 ． 其 南 不 及 天 中 萬 一 千 五 百 里 ．此 璇 璣 四 極 南 北 過 不 及 之 法 ． 東 西 南 北 之 正 句 ．
周 去 極 十 萬 三 千 里 ． 日 去 人 十 六 萬 七 千 里 ． 夏 至 去 周萬 六 千 里 ． 夏 至 日 道 徑 二 十 三 萬 八 千 里 ． 周 七 十 一 萬 四千 里 ． 春 秋 分 日 道 徑 三 十 五 萬 七 千 里 ． 周 百 七 萬 一 千 里． 冬 至 日 道 徑 四 十 三 萬 六 千 里 ． 周 百 四 十 二 萬 八 千 里 ．日 光 四 極 八 十 一 萬 里 ． 周 二 百 四 十 三 萬 里 ． 從 周 南 三 十萬 二 千 里 ．
璇 璣 徑 二 萬 三 千 里 ． 周 六 萬 九 千 里 ． 此 陽 絕 陰 彰 ． 故不 生 萬 物 ．
其 術 曰 ． 立 正 句 定 之 ．
以 日 始 出 ． 立 表 而 識 其 晷 ． 日 入 復 識 其 晷 ． 晷 之 兩 端相 直 者 ． 正 東 西 也 ． 中 折 之 ． 指 表 者 ． 正 南 北 也 ． 極 下不 生 萬 物 ． 何 以 知 之 ．
冬 至 之 日 ． 去 夏 至 十 一 萬 九 千 里 ． 萬 物 盡 死 ． 夏 至 之日 ． 去 北 極 十 一 萬 九 千 里 ． 是 以 知 極 下 不 生 萬 物 ． 北 極左 右 ． 夏 有 不 釋 之 冰 ．
春 分 秋 分 ． 日 在 中 衡 ． 春 分 以 往 ． 日 益 北 五 萬 九 千 五百 里 而 夏 至 ． 秋 分 以 往 ． 日 益 南 五 萬 九 千 五 百 里 而 冬 至．
中 衡 去 周 七 萬 五 千 五 百 里 ．
中 衡 左 右 ． 冬 有 不 死 之 草 ． 夏 長 之 類 ．
此 陽 彰 陰 微 ． 故 萬 物 不 死 ． 五 穀 一 歲 再 熟 ．
凡 北 極 之 左 右 ． 物 有 朝 生 暮 獲 ．
立 二 十 八 宿 ． 以 周 天 歷 度 之 法 ．
術 曰 ． 倍 正 南 方 ．
以 正 句 定 之 ．
即 平 地 徑 二 十 一 步 ． 周 六 十 三 步 ． 令 其 平 矩 以 水 正 ．
則 位 徑 一 百 二 十 一 尺 七 寸 五 分 ． 因 而 三 之 ． 為 三 百 六十 五 尺 四 分 尺 之 一 ．
以 應 周 天 三 百 六 十 五 度 四 分 度 之 一 ． 審 定 分 之 ． 無 令有 纖 微 ．
分 度 以 定 ． 則 正 督 經 緯 ． 而 四 分 之 一 ． 合 各 九 十 一 度十 六 分 度 之 五 ．
于 是 圓 定 而 正 ．
則 立 表 正 南 北 之 中 央 ． 以 繩 繫 顛 ． 希 望 牽 牛 中 央 星 之中 ．
則 復 候 須 女 之 星 先 至 者 ．
如 復 以 表 繩 ． 希 望 須 女 先 至 定 中 ．
即 以 一 遊 儀 ． 希 望 牽 牛 中 央 星 ． 出 中 正 表 西 幾 何 度 ．
各 如 遊 儀 所 至 之 尺 ． 為 度 數 ．
遊 在 于 八 尺 之 上 ． 故 知 牽 牛 八 度 ．
其 次 星 ． 放 此 ． 以 盡 二 十 八 宿 度 ． 則 定 矣 ．
立 周 度 者 ．
各 以 其 所 先 至 遊 儀 度 上 ．
車 輻 引 繩 就 中 央 之 正 以 為 轂 ． 則 正 矣 ．
日 所 以 入 ． 亦 以 周 定 之 ．
欲 知 日 之 出 入 ．
以 東 井 夜 半 中 ． 牽 牛 之 初 臨 子 之 中 ．
東 井 出 中 正 表 西 三 十 度 十 六 分 度 之 七 而 臨 未 之 中 ． 牽牛 初 亦 當 臨 丑 之 中 ．
于 是 天 與 地 協 ．
乃 以 置 周 二 十 八 宿 ．
置 以 定 ． 乃 復 置 周 度 之 中 央 ． 立 正 表 ．
以 冬 至 夏 至 之 日 ． 以 望 日 始 出 也 ． 立 一 遊 儀 于 度 上 ．以 望 中 央 表 之 晷 ．
晷 參 正 ． 則 日 所 出 之 宿 度 ．
日 入 放 此 ．
 
周 髀 算 經 卷 下 之 二
牽 牛 ． 去 北 極 百 一 十 五 度 千 六 百 九 十 五 里 二 十 一 步 千 四百 六 十 一 分 步 之 八 百 一 十 九 ．
術 曰 ． 置 外 衡 去 北 極 樞 二 十 三 萬 八 千 里 ． 除 璇 璣 萬 一千 五 百 里 ．
其 不 除 者 ． 二 十 二 萬 六 千 五 百 里 ． 以 為 實 ．
以 內 衡 一 度 數 千 九 百 五 十 四 里 二 百 四 十 七 步 千 四 百 六十 一 分 步 之 九 百 三 十 三 以 為 法 ．
實 如 法 得 一 ． 度 ．
不 滿 法 ． 求 里 步 ．
約 之 ． 合 三 百 得 一 ． 以 為 實 ．
以 千 四 百 六 十 一 分 為 法 ． 得 一 ． 里 ．
不 滿 法 者 ． 三 之 ． 如 法 得 百 ． 步 ．
不 滿 法 者 ． 又 上 十 之 ． 如 法 得 一 ． 步 ．
不 滿 法 者 ． 以 法 命 之 ．
次 、 放 此 ．
婁 與 角 ． 去 北 極 九 十 一 度 六 百 一 十 里 二 百 六 十 四 步 千四 百 六 十 一 分 步 之 千 二 百 九 十 六 ．
術 曰 ． 置 中 衡 去 北 極 樞 十 七 萬 八 千 五 百 里 ． 以 為 實 ．
以 內 衡 一 度 數 為 法 ． 實 如 法 得 一 ． 度 ． 不 滿 法 者 ． 求里 步 ． 不 滿 法 者 ． 以 法 命 之 ．
東 井 去 北 極 六 十 六 度 千 四 百 八 十 一 里 百 五 十 五 步 千 四百 六 十 一 分 步 之 千 二 百 四 十 五 ．
術 曰 、 置 內 衡 去 北 極 樞 十 一 萬 九 千 里 ． 加 璇 璣 萬 一 千五 百 里 ．
得 十 三 萬 五 百 里 ． 以 為 實 ．
以 內 衡 一 度 數 為 法 ． 實 如 法 得 一 ． 度 ． 不 滿 法 者 ． 求里 步 ． 不 滿 法 者 ． 以 法 命 之 ．
凡 八 節 二 十 四 氣 ． 氣 損 益 九 寸 九 分 六 分 分 之 一 ． 冬 至晷 長 一 丈 三 尺 五 寸 ． 夏 至 晷 長 一 尺 六 寸 ． 問 次 節 損 益 寸數 長 短 各 幾 何 ．
冬 至 晷 長 丈 三 尺 五 寸 ．
小 寒 丈 二 尺 五 寸 ． 小 分 五 ．
大 寒 丈 一 尺 五 寸 一 分 ． 小 分 四 ．
立 春 丈 五 寸 二 分 ． 小 分 三 ．
雨 水 九 尺 五 寸 三 分 ． 小 分 二 ．
啟 蟄 八 尺 五 寸 四 分 ． 小 分 一 ．
春 分 七 尺 五 寸 五 分 ．
清 明 六 尺 五 寸 五 分 ． 小 分 五 ．
穀 雨 五 尺 五 寸 六 分 ． 小 分 四 ．
立 夏 四 尺 五 寸 七 分 ． 小 分 三 ．
小 滿 三 尺 五 寸 八 分 ． 小 分 二 ．
芒 種 二 尺 五 寸 九 分 ． 小 分 一 ．
夏 至 一 尺 六 寸 ．
小 暑 二 尺 五 寸 九 分 ． 小 分 ．
大 暑 三 尺 五 寸 八 分 ． 小 分 二 ．
立 秋 四 尺 五 寸 七 分 ． 小 分 三 ．
處 暑 五 尺 五 寸 六 分 ． 小 分 四 ．
白 露 六 尺 五 寸 五 分 ． 小 分 五 ．
秋 分 七 尺 五 寸 五 分 ． 小 分 一 ．
寒 露 八 尺 五 寸 四 分 ． 小 分 一 ．
霜 降 九 尺 五 寸 三 分 ． 小 分 二 ．
立 冬 丈 五 寸 二 分 ． 小 分 三 ．
小 雪 丈 一 尺 五 寸 一 分 ． 小 分 四 ．
大 雪 丈 二 尺 五 寸 ． 小 分 五 ．
凡 為 八 節 二 十 四 氣 ．
氣 損 益 九 寸 九 分 六 分 分 之 一 ．
冬 至 夏 至 ． 為 損 益 之 始 ．
術 曰 ． 置 冬 至 晷 ． 以 夏 至 晷 減 之 ． 餘 為 實 ． 以 十 二 為法 ．
實 如 法 得 一 ． 寸 ． 不 滿 法 者 ． 十 之 ． 以 法 除 之 ． 得 一． 分 ．
不 滿 法 者 ． 以 法 命 之 ．
月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 ．
術 曰 ． 置 章 月 二 百 三 十 五 ． 以 章 歲 十 九 除 之 ． 加 日 行一 度 ． 得 十 三 度 十 九 分 度 之 七 ． 此 月 一 日 行 之 數 ． 即 後天 之 度 及 分 ．
小 歲 ． 月 不 及 故 舍 三 百 五 十 四 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度之 六 千 六 百 一 十 二 ．
術 曰 ． 置 小 歲 三 百 五 十 四 日 九 百 四 十 分 日 之 三 百 四 十八 ．
以 月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 乘 之 ． 為 實 ．
又 以 度 分 母 乘 日 分 母 ． 為 法 ． 實 如 法 ． 得 積 後 天 四 千七 百 三 十 七 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 六 千 六 百 一 十 二 ．
以 周 天 三 百 六 十 五 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 四 千 四 百六 十 五 除 之 ．
其 不 足 除 者 ．
三 百 五 十 四 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 六 千 六 百 一 十 二．
此 月 不 及 故 舍 之 分 度 數 ． 他 皆 放 此 ．
大 歲 ． 月 不 及 故 舍 十 八 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 萬 一千 六 百 二 十 八 ．
術 曰 ． 置 大 歲 三 百 八 十 三 日 九 百 四 十 分 日 之 八 百 四 十七 ．
以 月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 乘 之 ． 為 實 ． 又 以 度 分母 乘 日 分 母 ． 為 法 ． 實 如 法 ． 得 積 後 天 五 千 一 百 三 十 二度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 二 千 六 百 九 十 八 ．
以 周 天 除 之 ．
其 不 足 除 者 ．
此 月 不 及 故 舍 之 分 度 數 ．
經 歲 ． 月 不 及 故 舍 百 三 十 四 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之萬 一 百 五 ．
術 曰 ． 置 經 歲 三 百 六 十 五 日 九 百 四 十 分 日 之 二 百 三 十五 ．
以 月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 乘 之 ． 為 實 ． 又 以 度 分母 乘 日 分 母 ． 為 法 ． 實 如 法 ． 得 積 後 天 四 千 八 百 八 十 二度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 萬 四 千 五 百 七 十 ．
以 周 天 除 之 ．
其 不 足 除 者 ．
此 月 不 及 故 舍 之 分 度 數 ．
小 月 ． 不 及 故 舍 二 十 二 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 七 千七 百 五 十 五 ．
術 曰 ． 置 小 月 二 十 九 日 ．
以 月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 乘 之 ． 為 實 ． 又 以 度 分母 乘 日 分 母 ． 為 法 ． 實 如 法 ． 得 積 後 天 三 百 八 十 七 度 萬七 千 八 百 六 十 分 度 之 萬 二 千 二 百 二 十 ．
以 周 天 分 除 之 ．
其 不 足 除 者 ．
此 月 不 及 故 舍 之 分 度 數 ．
大 月 ． 不 及 故 舍 三 十 五 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 萬 四千 三 百 三 十 五 ．
術 曰 ． 置 大 月 三 十 日 ．
以 月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 乘 之 ． 為 實 ． 又 以 度 分母 乘 日 分 母 ． 為 法 ． 實 如 法 ． 得 積 後 天 四 百 一 度 萬 七 千八 百 六 十 分 度 之 九 百 四 十 ．
以 周 天 除 之 ．
其 不 足 除 者 ．
此 月 不 及 故 舍 之 分 度 數 ．
經 月 ． 不 及 故 舍 二 十 九 度 萬 七 千 八 百 六 十 分 度 之 九 千四 百 八 十 一 ．
術 曰 ． 置 經 月 二 十 九 日 九 百 四 十 分 日 之 四 百 九 十 九 ．
以 月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 乘 之 為 實 ． 又 以 度 分 母乘 日 分 母 ． 為 法 ． 實 如 法 ． 得 積 後 天 三 百 九 十 四 度 萬 七千 八 百 六 十 分 度 之 萬 三 千 九 百 四 十 六 ．
以 周 天 除 之 ．
其 不 足 除 者 ．
此 月 不 及 故 舍 之 分 度 數 ．
六 百 五 十 二 萬 三 千 三 百 六 十 五 除 之 ． 得 一 周 ． 餘 分 五十 二 萬 七 千 四 百 二 十 一 ． 即 不 及 故 舍 之 分 ． 以
一 萬 七 千 八 百 六 十 除 之 ． 得 經 月 不 及 故 舍 二 十 九 度 ．不 盡 九 千 四 百 八 十 一 ． 即 以 命 分 ．
 
 
周 髀 算 經 卷 下 之 三
冬 至 晝 極 短 ． 日 出 辰 而 入 申 ．
陽 照 三 ． 不 覆 九 ．
東 西 相 當 ． 正 南 方 ．
夏 至 晝 極 長 ． 日 出 寅 而 入 戌 ． 陽 照 九 ． 不 覆 三 ．
東 西 相 當 ． 正 北 方 ．
日 出 左 而 入 右 ． 南 北 行 ．
故 冬 至 從 坎 陽 在 子 ． 日 出 巽 而 入 坤 ． 見 日 光 少 ． 故 曰寒 ．
夏 至 從 離 陰 在 午 ． 日 出 艮 而 入 乾 ． 見 日 光 多 ． 故 曰 暑．
日 月 失 度 ． 而 寒 暑 相 姦 ．
往 者 詘 ． 來 者 信 也 ． 故 詘 信 相 感 ．
故 冬 至 之 後 ． 日 右 行 ． 夏 至 之 後 ． 日 左 行 ． 左 者 往 ．右 者 來 ．
故 月 與 日 合 ． 為 一 月 ．
日 復 日 ． 為 一 日 ．
日 復 星 ． 為 一 歲 ．
外 衡 冬 至 ．
內 衡 夏 至 ．
六 氣 復 返 ． 皆 謂 中 氣 ．
陰 陽 之 數 ． 日 月 之 法 ．
十 九 歲 為 一 章 ．
四 章 為 一 蔀 ． 七 十 六 歲 ．
二 十 蔀 為 一 遂 ． 遂 千 五 百 二 十 歲 ．
三 遂 為 一 首 ． 首 四 千 五 百 六 十 歲 ．
七 首 為 一 極 ． 極 三 萬 一 千 九 百 二 十 歲 ． 生 數 皆 終 ． 萬物 復 始 ．
天 以 更 元 作 紀 歷 ．
何 以 知 天 三 百 六 十 五 度 四 分 度 之 一 ． 而 日 行 一 度 ． 而月 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 ． 二 十 九 日 九 百 四
十 分 日 之 四 百 九 十 九 ． 為 一 月 ． 十 二 月 十 九 分 月 之 七． 為 一 歲 ．
周 天 除 之 ．
其 不 足 除 者 ． 如 合 朔 ． 古 者 包 犧 神 農 ． 制 作 為 歷 ． 度元 之 始 ． 見 三 光 未 如 其 則 ．
日 月 列 星 ． 未 有 分 度 ．
日 主 晝 ． 月 主 夜 ． 晝 夜 為 一 日 ． 日 月 俱 起 建 星 ．
月 度 疾 ． 日 度 遲 ．
日 月 相 逐 于 二 十 九 日 三 十 日 閒 ．
而 日 行 天 二 十 九 度 餘 ．
未 有 定 分 ．
于 是 三 百 六 十 五 日 南 極 影 長 ． 明 日 反 短 ． 以 歲 終 日 影反 長 ． 故 知 之 三 百 六 十 五 日 者 三 ． 三 百 六 十 六 日 者 一 ．
故 知 一 歲 三 百 六 十 五 日 四 分 日 之 一 ． 歲 終 也 ． 月 積 後天 十 三 周 ． 又 與 百 三 十 四 度 餘 ．
無 慮 後 天 十 三 度 十 九 分 度 之 七 ． 未 有 定 ．
于 是 日 行 天 七 十 六 周 ． 月 行 天 千 一 十 六 周 ． 及 合 于 建星 ．
置 月 行 後 天 之 數 ． 以 日 後 天 之 數 除 之 ． 得 十 三 度 十 九分 度 之 七 ． 則 月 一 日 行 天 之 度 ．
復 置 七 十 六 歲 之 積 月 ．
以 七 十 六 歲 除 之 ． 得 十 二 月 十 九 分 月 之 七 ． 則 一 歲 之月 ．
置 周 天 度 數 ． 以 十 二 月 十 九 分 月 之 七 除 之 ． 得 二 十 九日 九 百 四 十 分 日 之 四 百 九 十 九 ． 則 一 月 日 之 數 ．
 

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