2.4

5.3


	HISTORY OF MATHEMATICS


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約莫西元前300年左右時，最著名的數學中心是亞歷山大城，在亞歷山大城最著名的數學家就是歐幾里得〈Euclid，西元前330-西元前275〉。

歐幾里得知識淵博，數學造詣精湛，尤其擅長於幾何證明，當時的國王托勒密也經常向他請教數學問題。有一次國王做一道幾何證明題，接連幾天都沒有做出來，就問歐幾里得，能不能把幾何證明弄得簡單一點。歐幾里得認為國王想投機取巧，於是不客氣的回答說：「陛下，幾何學裡沒有王者之路。」()這句話流傳下來，成為學習幾何的箴言。

在數學上，歐幾里得的貢獻是編了震古爍金的一本書。他從他的出身門派- 柏拉圖學派取得材料，蒐集的許多定理，更將前人的鬆弛演證嚴密化，而編成了數學巨著《幾何原本》。該書前後共編寫成十三卷，內容豐富立論精湛，舉凡多面體、角錐體、平面幾何、無理量以及數論等，盡編撰囊括其中。當然，僅憑這一本書，就足以讓他永垂不朽了。

為了編好這本書，歐幾里得創造了一種巧妙的陳述方式。一開始，他介紹了所有的定義，讓大家一翻開書，就知道書中的每個概念是什麼意思。例如，什麼叫做點？書中說："點是沒有部分的"；什麼叫做線？書中說："線有長度但沒有寬度"。這樣一來，大家就不會對書中的概念有所歧義了。接下來，歐幾里得提出了5個公理和5個公設：

公理1 與等量相等的量必定相等。
公理2 等量加等量，總量仍相等。
公理3 等量減等量，餘量仍相等。
公理4 重合量必定相等的。
公理5 全量大於分量。

公設1 從任意的一個點到另一個點必可作一條直線連之。
公設2 把有限的直線不斷循直線延長是可能的。
公設3 以任一點為圓心和任一長為半徑作一圓是可能的。
公設4 所有的直角都相等。
公設5 過線外一點，洽有一直線與已知直線平行。

在現在看來，公理與公設實際上是一回事，它們都是最基本的數學結論。公理的正確性是無庸置疑的，因為它們都經過了長期實踐的反覆檢驗，除了第5公設外，其它公理的正確性幾乎是一目瞭然的。

這些公理是幹什麼用的呢？歐幾里得把它們作為數學推理的基礎。他想，既然誰也無法否認公理的正確性，那麼，用它們做理論依據去證明數學定理，只要證明的過程不出差錯，定理的正確性也就同樣不容否認了。而且一個定理被證明以後，又可以用它作為理論依據，去推導出新的數學定理來。這樣，就可以用一根邏輯的鏈條，把所有的定理都串聯起來，讓每一個環節都銜接得絲絲入扣，無懈可擊。在《幾何原本》裡，歐幾里得卻只用五個公設、五個公理以及23個定義用這種方式，有條不紊地證明了467個最重要的數學定理，其論證精采、邏輯之嚴密，為其主要特色。簡單介紹如下:

第三卷：討論有關圓的弦、切線、割線等問題，如下圖。若從圖外一點分別作該圓的切線、割線各一，則。